Очень срочно! Олимпиада по математике! 1. Докажите, что 5+++++...+ делится ** 6. 2....

Question

Очень срочно! Олимпиада по математике!
1. Докажите, что 5+++++...+ делится на 6.
2. Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13. Найдите 2016-й член последовательности.
3.В треугольнике АВС угол С равен 75°, а угол В равен 60°. Вершина М равнобедренного прямоугольного треугольника ВСМ с гипотенузой ВС расположена внутри треугольника АВС. Найдите угол МАС.
4. Изобразите на координатной плоскости хОу множество всех точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют равенству:
5. На доске написано несколько плюсов и минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Докажите, что последний оставшийся на доске знак не зависит от порядка, в котором производились стирания.

Answer 1

Ну насчёт первого ещё могу помочь:
тут нужен простой признак делимости на 6, но для начала:
во-первых, у нас 2016 чисел
во-вторых, 5 в любой степени даёт нам число, у которого на конце 5, то есть оно будет нечетным
в-третьих, если мы сложим четное количество нечетных чисел, то получится чётное число
Мы знаем признак делимости на 6 - оно должно быть четным и сумма цифр должна делиться на 3. Первое условие у нас уже есть - четность. Осталась "сумма цифр, делящаяся на 3". Смотри, возьмём попарно любые 2 последовательных числа (например, 5 в третей и 5 в четвертой степени). И заметим, что при таком сложении эта сумма будет делиться на 3. То есть пятёрка в четной степени + пятерка в нечетной степени будет давать число, делящееся на 3. Отсюда и вывод, что и вся сумма 2016 чисел будет делиться на 3. Отсюда и доказательство: сумма цифр делиться на 3, оно чётное 

Comments

Спасибо :) Хотя бы так)))

---

За какой класс олимпиада?