Точки P,Q,W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении...

0 голосов
330 просмотров

Точки P,Q,W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW=12.
а) Докажите, что треугольник PQW -- прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD


Геометрия (918 баллов) | 330 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Треугольник PQW не обязательно прямоугольный. По т. синусов для него получаем PW=2R·sin∠Q=20·sin∠Q, а по т. косинусов для него же
20²·sin²∠Q=16²+12²-2·16·12·cos∠Q. Решаем это уравнение, получаем cos∠Q=0 и cos∠Q=24/25. Т.е. в первом случае PQW - действительно прямоугольный (см. рис. 1), а второй случай также существует при выпуклом ABCD (см. рис. 2.)

Т.к. AB/PB=CB/QB=5/4, то треугольник ABC подобен треугольнику PBQ с коэффициентом подобия 5/4, откуда  AC=(5/4)·PQ=5*16/4=20 и AC||PQ. Аналогично, треугольник BCD подобен треугольнику QCW с коэффициентом 5, т.е. BD=5QW=5*12=60 и BD||QW, откуда угол между диагоналями ABCD равен  углу PQW. Поэтому, площадь ABCD вычисляется по формуле (1/2)AC·BD·sin(∠PQW).
Значит, в случае, когда PQW - прямоугольный
S(ABCD)=(1/2)·20·60·sin(90°)=600.
Во втором случае
S(ABCD)=(1/2)·20·60·√(1-24²/25²)=168.


image
image
(56.6k баллов)
0

тогда надеюсь, что вы правы про принцип составления задачи, иначе придётся доказывать значене угла только через формулы суммы квадратов косинусов углов треугольника( или синуса), взятые из wikiпедии

0

вот сбиваете с толку почем зря... :))

0

С решением согласен. Не разобрался. Приношу извинения.