Решите уравнение (с модулем): cosx/|cosx|=1-sin2x

Question 1

Решите уравнение (с модулем):
cosx/|cosx|=1-sin2x

Question 2

$\dfrac{\cos x}{|\cos x|} =1-\sin2x$
Заметим, что при cosx=0 получаем деление на 0, чего не может быть. Если cosx≠0, то раскрываем модуль:
$\left[\begin{array}{l} \dfrac{\cos x}{\cos x} =1-\sin2x, \ \cos x \ \textgreater \ 0 \\\\ \dfrac{\cos x}{-\cos x} =1-\sin2x, \ \cos x\ \textless \ 0 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 1 =1-\sin2x, \ \cos x \ \textgreater \ 0 \\ -1=1-\sin2x, \ \cos x\ \textless \ 0 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 0=-\sin2x, \ \cos x \ \textgreater \ 0 \\ -2=-\sin2x, \ \cos x\ \textless \ 0 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} \sin2x=0, \ \cos x \ \textgreater \ 0 \\ \sin2x=2, \ \cos x\ \textless \ 0 \end{array}$
Так как синус ограничен от -1 до 1, то второе уравнение не имеет решений. Остается следующая система:
$\left\{\begin{array}{l} \sin2x=0 \\ \cos x \ \textgreater \ 0 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} 2x= \pi n \\ \cos x \ \textgreater \ 0 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} x= \frac{\pi n}{2} , \ n\in Z \\ \cos x \ \textgreater \ 0 \end{array}$
Только точки вида $2 \pi n$ удовлетворяют второму условию. Это и есть окончательный ответ.
Ответ: 2пn, где n - целые числа

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-04-30T02:31:06+0000

$\dfrac{\cos x}{|\cos x|} =1-\sin2x$
Заметим, что при cosx=0 получаем деление на 0, чего не может быть. Если cosx≠0, то раскрываем модуль:
$\left[\begin{array}{l} \dfrac{\cos x}{\cos x} =1-\sin2x, \ \cos x \ \textgreater \ 0 \\\\ \dfrac{\cos x}{-\cos x} =1-\sin2x, \ \cos x\ \textless \ 0 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 1 =1-\sin2x, \ \cos x \ \textgreater \ 0 \\ -1=1-\sin2x, \ \cos x\ \textless \ 0 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} 0=-\sin2x, \ \cos x \ \textgreater \ 0 \\ -2=-\sin2x, \ \cos x\ \textless \ 0 \end{array}$
$\left[\begin{array}{l} \sin2x=0, \ \cos x \ \textgreater \ 0 \\ \sin2x=2, \ \cos x\ \textless \ 0 \end{array}$
Так как синус ограничен от -1 до 1, то второе уравнение не имеет решений. Остается следующая система:
$\left\{\begin{array}{l} \sin2x=0 \\ \cos x \ \textgreater \ 0 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} 2x= \pi n \\ \cos x \ \textgreater \ 0 \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} x= \frac{\pi n}{2} , \ n\in Z \\ \cos x \ \textgreater \ 0 \end{array}$
Только точки вида $2 \pi n$ удовлетворяют второму условию. Это и есть окончательный ответ.
Ответ: 2пn, где n - целые числа