Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными х и у.
Каждое уравнение системы задает прямую.
Графическое решение такой системы состоит в построении двух прямых, которые
-могут пересекаться в единственной точке, значит система имеет единственное решение;
-не пересекаться, быть параллельными. Система не имеет решений.
-совпадать. Система имеет бесчисленное множество решений.
Система двух линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений тогда и только тогда, когда прямые совпадают.
Прямые совпадают, тогда и только тогда, когда все коэффициенты пропорциональны.
1)
(а-2)/2=27/(а+1)=4,5/(-1)
В данном условии три пропорции.
Применяем основное свойство пропорции. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
(а-2)/2=4,5/(-1) ⇒ а=-7
27/(а+1)=4,5/(-1) ⇒4,5а=-31,5 ⇒а=-7
О т в е т. а= - 7.
2)
(а+4)/2а=(-а-3)/(-а)=(7а+6)/а⁴
(а+4)/2а=(-а-3)/(-а) ⇒ а(а+4)=2а(а+3) ⇒ а=-2
(а+4)/2а=(7а+6)/а⁴ a=-2 является корнем второго уравнения, так как
2/(-4)=(-8)/16 - верно.
а=-2 корень и первого и второго уравнения.
О т в е т. а=-2.
3) Так как второе уравнение задает прямую, проходящую через начало координат, то для выполнения условия совпадения прямых, требуем прохождения через начало координат прямой, заданной первым уравнением
6а²-5а+1=0
D=25-24=1
a=(5-1)/12=1/3 или а=(5+1)/12=1/2
Условие пропорциональности коэффициентов принимает вид
2а/1=1/2а ⇒ 4а²=1 ⇒ a=1/2 или а=-1/2
Общий корень а=1/2
О т в е т. а=1/2.
Система двух линейных уравнений не имеет решений тогда и только тогда, когда прямые параллельны.
Прямые совпадают, тогда и только тогда, когда коэффициенты при х и у пропорциональны, а свободные коэффициенты не пропорциональны.
4.
2/1=(9а²-2)/1≠(6а-2)/1
2/1=(9а²-2)/1
9а²=4 ⇒ а=2/3 или а=-2/3
2/1≠(6а-2)/1
6а-2≠2 ⇒6а≠4 ⇒ а≠2/3
О т в е т. а=-2/3
5.
(2а+6)/(3а+10)=(3а+2)/(5а)≠(3-2а)/(-14)
(2а+6)/(3а+10)=(3а+2)/(5а)⇒5а(2а+6)=(3а+1)(3а+10)
10а²+30а=9а²+33а+10;
а²-3а-10=0
D=9+40=49
a=-2 или а=5
(3а+2)/(5а)≠(3-2а)/(-14)
при а=-2
(-4)/(-10)≠(7)/(-14) - верно
при а=5
(17/25)≠(-7)/(-14) - верно
О т в е т. а=-2; а=5