Петя написал на доске 20 целых чисел. Затем он нашел сумму каждой пары чисел, написанных...

Небольшой кортеж из 20 целых чисел имеет число пар, равное числу сочетаний из 20 элементов по 2, то есть (это для начала):
$C= \frac{20!}{2!*18!} = \frac{19*20}{2}=190.$
Таким образом, имеем 96 нечетных сумм и 94 четные суммы. Чётная сумма может быть получена и при сложении двух четных чисел, и при сложении двух нечётных чисел, поэтому рассмотрим только 96 нечетных сумм, которые могут быть получены только при сложении четного и нечётного чисел. Пусть n четных чисел и 20-n нечетных. Получим комбинаторное уравнение: n*(20-n)=96, $n ^{2} -20n+96=0, n_{1}=12, n_{2} =8$
Значит чётных 12 чисел и 8 нечётных. Ура!

Петя написал ** доске 20 целых чисел. Затем он нашел сумму каждой пары чисел, написанных...