Построить треугольник, если известны две его высоты и медиана, проведенная к стороне, не...

Question

Построить треугольник, если известны две его высоты и медиана, проведенная к стороне, не содержащей основания известных высот.

Answer 1

Смысл построения виден из рисунка. Если треугольник АВС (который надо построить по условию задачи) "достроить" до паралелограмма АВСЕ (то есть AB II CE, AC II BE), то перпендикуляры КЕ и МЕ  к сторонам АВ и АС - суть заданные высоты.

При этом очевидно, что точки А, К, Е и М лежат на окружности с центром в точке О (середина ВС). 

Поэтому порядок построения треугольника АВС по заданным медиане m и высотам h1 и h2 такой. 

1. Строится окружность диаметром АЕ = 2*m (то есть АО = m).

2. Строятся две вспомогательные окружности с центром в точке Е, радиусами h1 и h2. Точки пересечения этих окружностей с противоположных сторон от АЕ - это точки К и М, то есть так находятся хорды EK = h1 и EM = h2.  Точки К и М соединяются с точкой А.

3. Из точки Е проводятся EC II AK,  EB II AM. Получается параллелограмм, в котором АЕ - диагональ. Две другие вершины обозначаются В и С, диагональ ВС пройдет через середину АЕ, то есть полученный треугольник АВС имеет медиану АО = m  и высоты, равные EK = h1 и EM = h2. 

Что и требовалось.

Answer 2

Сначала построй отрезок, который в два раза длинее медианны. Из одного  конца отрезка строешь 2 окружности с радиусами, равными 2 известных высот. Построив окружности, из другого конца отрезка проводишь к окружностям касательные.

Получаешь 2 точки на окружности соединяешь их с точкой на отрезке, из которой проводила касательные.