1.Найдите область определения функции 2.Решите уравнение 3.Решите неравенство 4.Решите...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1. $y=\log_7(2x-9)$
Подлогарифмическое выражение принимает положительное значение.
2x-9 > 0
x > 4.5

Область определения функции: $D(y) = (4.5;+\infty)$

2. 1) $\log_8x= \frac{1}{3}$
ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$
Правую часть уравнения запишем по свойству логарифмов $\log_aa^b=b$ , тоесть, в нашем случае так будет:

$\log_8x=\log_88^{\frac{1}{3}}$
Основания логарифмов одинаковы, значит имеем:
$x=8^{\frac{1}{3}}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2$

Ответ: $2.$

2) $\log_{11}(x^2-8x+25)=\log_{11}10$
ОДЗ: $x^2-8x+25\ \textgreater \ 0$
очевидно, что ОДЗ у нас будет принимать при любых х, т.е. представим левую часть как $(x-4)^2+9\ \textgreater \ 0$ , отсюда следует, что при всех значениях х неравенство верное.

Основания одинаковы, значит по свойство логарифмов
$x^2-8x+25=10\\ x^2-8x+15=0$

По т. Виета: $x_1=3;\,\,\, x_2=5$

Ответ: $3;5.$

3. $\log_3(x+2) \leq \log_34$
ОДЗ : $x+2\ \textgreater \ 0$ отсюда следует, что $x\ \textgreater \ -2$
Так как основания $3\ \textgreater \ 1$ , функция возрастающая, а значит знак неравенства не меняется, тоесть:
$x+2 \leq 4\\ x \leq 2$

C учетом ОДЗ имеем общее решение $-2\ \textless \ x \leq 2$

Ответ: $x \in (-2;2]$

4. 1) $\log_4(x+3)+\log_4(x+15)=3$
ОДЗ: $\begin{cases} & \text{ } x+3\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x+15\ \textgreater \ 0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x\ \textgreater \ -3 \\ & \text{ } x\ \textgreater \ -15 \end{cases}\Rightarrow\boxed{x\ \textgreater \ -3}$
По свойству логарифмов: $\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)$

$\log_4((x+3)(x+15))=3\\ \log_4((x+3)(x+15))=\log_44^3\\ (x+3)(x+15)=4^3\\ x^2+18x+45=64\\ x^2+18x-19=0$
По т. Виета:
$x_1=-9\\ x_2=1$

Корень $x_1=-19$ не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: $1.$

2) $2\log_2^2x+3\log_2x^3=5$
ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$

В левой части уравнения второе слагаемое перепишем по свойству логарифмов $\log_ab^c=c\log_ab$ , тоесть:
$2\log_2^2x+3\cdot 3\log_2x=5\\ 2\log_2^2x+9\log_2x=5$

Пусть $\log_2x=t\,\,(t\in R)$ , тогда
$2t^2+9t-5=0$
Решаем обычное квадратное уравнение
$D=b^2-4ac=9^2-4\cdot2\cdot(-5)=121;\,\, \sqrt{D} =11\\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-9+11}{2\cdot2} =-0.5;\\ t_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-9-11}{2\cdot2} =-5$

Обратная замена:
$\log_2x=-0.5;\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x=2^{-0.5}= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \log_2x=-5;\,\,\,\Rightarrow\,\,\, x=2^{-5}= \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{32}$

5. $\lg^2x-\lg x-2\ \textgreater \ 0$
ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$
Приравниваем к нулю.

$\lg^2x-\lg x-2=0$
Пусть $\lg x=t$ , тогда получаем
$t^2-t-2=0$
По т. Виета:
$t_1=2;\,\,t_2=-1$

Обратная замена:
$\lg x=2\\ \lg x=\lg 10^2\\ x_1=100;\,\,\, \lg x= -1\\ \lg x=\lg 10^{-1}\\ x=0.1$

___+___(0.1)__-____(100)____+_____

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cin+%28-%5Cinfty%3B0.1%29%5Ccup%28100%3B%2B%5Cinfty%29" id="TexFormula45" title="x \in (-\infty;0.1)\cup(100;+\infty)" alt="x \in (-\infty;0.1)\cup(100;+\infty)" al

аноним 01 Май, 18