Я про такой треугольник много уже написал тут. Ну, можно еще.
Но сначала решение "для учителя".
Центр окружности лежит на стороне 15 и равноудален от других сторон, то есть он совпадает с концом биссектрисы угла напротив стороны 15. Поэтому он делит сторону 15 в отношении 13/14. Длины этих отрезков 15*13/(13+14) = 65/9 и 15*14/(13 + 14) = 70/9;
Площади треугольников, на которые делит треугольник биссектриса, равны 13*R/2 и 14*R/2, поскольку радиус окружности R играет в каждом из них роль высоты к известной стороне. Сумма их равна S = 27*R/2;
Площадь треугольника S считается по формуле Герона.
Полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2 = 21;
p - 13 = 8; p - 14 = 7; p - 15 = 6;
S^2 = 21*8*7*6 = (7*3*4)^2; S = 7*3*4 = 84;
Получилось
27*R/2 = 84; R = 56/9;
Теперь вот что. Часто можно найти площадь треугольника, если заметить, что его длины сторон выражены целыми числами, присутствующими в Пифагоровых тройках. Или - что несколько сложнее - пропорциональны им. В данном случае присутствие чисел 13 (из тройки 5,12,13) и 15 (из "египетской" тройки 9, 12, 15, кратной 3,4,5) наводит на мысль, что треугольник составлен из двух Пифагоровых. Это действительно так - достаточно приставить друг к другу такие треугольники одинаковыми катетами 12, так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовали бы сторону 14.
Это означает, что в треугольнике со сторонами 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12, и она делит сторону 14 на отрезки 5 и 9. (Стоит ли упоминать, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам, ДРУГИХ таких треугольников не бывает :))
Это простое наблюдение не требует сложных вычислений (записать это намного труднее, чем сообразить). В результате площадь треугольника считается устно, и равна
S = 12*14/2 = 84;
В данном случае площадь легко считается и по формуле Герона, но это не всегда так, и - кроме того - применение сложных формул увеличивает вероятность ошибки. А метод "Пифагоровых троек" позволяет сосчитать площадь моментально, устно и безошибочно.
Стоит только помнить, что после получения ответа таким способом надо еще уметь получить его "стандартными" методами. Если поискать среди моих задач - там есть более подробное изложение различных способов, которые надо прменять в таких случаях. Формула Герона вообще должна применяться только тогда, когда нет другого выхода.