** плоскости дан отрезок AB и ** нём произвольная точка M. ** отрезках AM и MB как **...

Question

На плоскости дан отрезок AB и на нём произвольная точка M. На отрезках AM и MB как на сторонах построены квадраты ACD и MBEF, лежащие по одну сторону от
AB, и N - точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки M на отрезке AB каждая прямая MN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.

Comments

Прикольно, если квадрат был MACD, то получается мое решение. Если же AMCD, то решение Ssoxo. Забавно, что получились две совершенно разных задачи, но с верным условием. Может так и было задумано? :)) Интересно, какой же квадрат был в исходнике условия?

Answer 1

Пусть прямые AF и MN пересекают прямую BE в точках P и S соответственно, а BC пересекает MF в точке O. Докажем, что S - искомая. Из подобия треугольников BS/MO=BN/NO=PB/OF, т.е. BS/PB=MO/OF.
Обозначим AB=a, MB=MF=x, тогда AM=AC=a-x,
MO=MB·tg∠ABC=x(a-x)/a,
OF= MF-OM=x-x(a-x)/a=x²/a,
PB=AB·tg∠MAF=ax/(a-x).
Таким образом, BS=PB·MO/OF=(ax/(a-x))·(x(a-x)/a)·(a/x²)=a. Итак, видим, что длина BS не зависит от положения точки M на отрезке AB, т.е. точка S - искомая.

---

Answer 2

Я это понимаю так: На отрезках АМ и МВ, как на сторонах, построены квадраты АМСД и МВЕF... Далее то тексту.

В прямоугольных треугольниках АМF и СМВ катеты FМ=МВ и АМ=СМ, значит тр-ки равны. ∠МСВ=∠FАМ.
В тр-ке СМВ ∠МСВ+∠СВМ=90°, значит ∠NАВ+∠NВА=90°, значит тр-ник АNВ - прямоугольный.
Треугольники АNВ и МСВ подобны по трём углам, значит NВ/МВ=АN/СМ, но СМ=АМ ⇒ NВ/МВ=АN/АМ. В тр-ке АNВ это тождество соответствует утверждению теоремы биссектрис, значит NМ - биссектриса тр-ка АNВ.
Во вписанном в окружность прямоугольном треугольнике АNВ АВ - диаметр, биссектриса АМ пересекает окружность в точке S, причём ∩AS=∩BS, так как на них опираются равные вписанные углы ANS и BNS.
Таким образом, точка S - середина дуги АВ. Это будет работать всегда, при любом положении точки М на отрезке АВ. Т.к. АВ - всегда диаметр одинаковой окружности, все прямые MN проходят через точку S.
Доказано.