Поведем некоторые преобразования.
![\displaystyle \cos^2x-\sin x=(1-\sin^2x)-\sin x=-(\sin^2x+\sin x-1)= \\
-\left\{\left[\sin^2x+2\cdot \frac{1}{2}\cdot\sin x+\left( \frac{1}{2}\right)^2\right]- \left( \frac{1}{2}\right)^2-1\right\}= \\ \\
\frac{5}{4} -\left(\sin x+ \frac{1}{2}\right)^2=1.25-(\sin x+0.5)^2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Ccos%5E2x-%5Csin+x%3D%281-%5Csin%5E2x%29-%5Csin+x%3D-%28%5Csin%5E2x%2B%5Csin+x-1%29%3D+%5C%5C+%0A-%5Cleft%5C%7B%5Cleft%5B%5Csin%5E2x%2B2%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Csin+x%2B%5Cleft%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%5Cright%5D-+%5Cleft%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2-1%5Cright%5C%7D%3D+%5C%5C++%5C%5C+%0A%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+-%5Cleft%28%5Csin+x%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%3D1.25-%28%5Csin+x%2B0.5%29%5E2 "\displaystyle \cos^2x-\sin x=(1-\sin^2x)-\sin x=-(\sin^2x+\sin x-1)= \\
-\left\{\left[\sin^2x+2\cdot \frac{1}{2}\cdot\sin x+\left( \frac{1}{2}\right)^2\right]- \left( \frac{1}{2}\right)^2-1\right\}= \\ \\
\frac{5}{4} -\left(\sin x+ \frac{1}{2}\right)^2=1.25-(\sin x+0.5)^2")
Рассмотрим, в каких пределах может изменяться величина f=(sin x+0.5)².
Мы знаем, что синус может меняться в пределах от -1 до 1.
Максимальное значение f=2.25 достигается при sin x = 1
При этом значение y будет минимальным и составит 1.25-2.25 = -1.
Максимальное значение у можно получить, если вычесть из 1.25 что-то отрицательное или положительное, но как можно меньшей величины. f - это квадрат некоторого выражения и отрицательным он быть не может. Но при sin x=-0.5 получаем f=0 и y=1.25
Ответ: y ∈ [-1;1.25]