Внутри треугольника ABC взята произвольная точка K и через нее проведены три прямые,...

Question

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка K и через нее проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника ABC. Эти прямые делят треугольник ABC на шесть частей, из которых три части являются треугольниками. Площади этих треугольников равны: S1,S2,S3. Вычислить площадь треугольника ABC.

Answer 1

Все три треугольника подобны исходному. Предположим, что коэффициенты подобия этих треугольников x, y, z. То есть a1/a = b1/b = c1/c = x, a2/a = b2/b = c2/c = y, a3/a = b3/b = c3/c = z. Далее, легко видеть, что, например, a1 + a2 + a3 = a; то есть параллельные линии делят стороны на три отрезка, равных соответственным сторонам каждого из трех треугольников. 

Поэтому x + y + z = 1; 

С другой стороны, если отношение сторон равно x, то отношение площадей равно x^2, то есть 

x = √(S1/S); y = √(S2/S); z = √(S3/S);

поэтому 

√(S1/S) + √(S2/S) + √(S3/S) = 1; 

или

S = (√(S1) + √(S2) +√(S3))^2;

 

Кстати, в порядке критики другого решения (принадлежащего перу ученого GodzillAMC :) ) - из него получается, например, если выбрать в качестве точки одну из вершин, что S = 3S; 

Answer 2

Другие части будут паралелограмы, которые имеют площади в 2 раза больше получившихся треугольников, получается плошать АВС в 3 раза больше суммы площадей малых треугольников и равна S=3(S1+S2+S3)