Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересекают сторону ВС в точках К и М...

0 голосов
118 просмотров

Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересекают сторону ВС в точках К и М соответственно, причем ВК=КМ=МС, АК=8, ДМ=6. Найдите периметр паралелограмма

Геометрия (75 баллов) | 118 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Чертеж к решению - во вложении.

Известно, что биссектрисы двух непротивоположных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом и отсекают равнобедренные треугольники. Таким, образом, треугольники АВК и МСД равнобедренные, а треугольник КРМ - прямоугольный.

Все равные углы (накрест лежащие и вертикальные), а также равные отрезки  отмечены на чертеже. 

Ведем обозначения: ВК=КМ=МС=х, КР=у, МР=z.

Периметр параллелограмма P=2(АВ+ВС)=8х.

Треугольники РАД и РКМ подобны по двум углам. Поэтому

\frac{AP}{KP}=\frac{DP}{MP}=\frac{AD}{KM} 

\frac{8+y}{y}=\frac{6+z}{z}=\frac{3x}{x}

1) \frac{8+y}{y}=\frac{3x}{x} 

\frac{8+y}{y}=3

3y=8+y

y=2,

2) \frac{6+z}{z}=\frac{3x}{x} 

\frac{6+z}{z}=3

z+6=3z

z=3,

По теореме Пифагора в треугольнике КРМ

x=\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}

P_{ABCD}=8\sqrt{13}

Ответ:  P_{ABCD}=8\sqrt{13}

image
(25.2k баллов)
Похожие задачи