Дослідити функцію методами диференціального числення та використовуючи результати...

οбласть : $D_f \in R$

первая производная :

$\frac d{dx} f(x)= \frac d{dx}\frac{1}{6}x^3-\frac d{dx}x^2+\frac d{dx}1= \frac{1}{6}\cdot 3x^2-2x+0=\frac{x^2}{2}-2x$

второя производная :

$\frac{d^2 } {dx} f(x) = \frac d {dx} (\frac{x^2}{2}-2x)= \frac d {dx} \frac{x^2}{2}-\frac d {dx}2x)= \frac 1 2 \cdot 2x -2= x-2$

принципя

1. f(x) возрастающая если производная > 0

2. f(x) убывающая если производная < 0

3. f(x) неубывающая и невозрастающая (стала или екстремум ) если производная = 0

4. f(x) вypuкла если второя производная > 0

5. f(x) вогнутая если второя производная < 0

6. f(x) невypuкла и невогнутая ( перегиб или прямая ) если второя производная = 0

ад 3

екстрема

$\frac{x^2}{2}-2x = 0 \newline \newline \frac x 2(x -4) = 0$ $x_1= 0 \newline \newline x_2 = 4$

$f(0) = \frac{1}{6} \cdot 0^3-0^2+1= 1$

$f(4) = \frac{1}{6} \cdot 4^3-4^2+1= -\frac{13}{3}$

ад 1

возрастание

0 \newline \newline \frac x 2(x -4) > 0" alt="\frac{x^2}{2}-2x > 0 \newline \newline \frac x 2(x -4) > 0" align="absmiddle" class="latex-formula"> 4}} \right" alt="\left \{ {{x<0} \atop {x>4}} \right" align="absmiddle" class="latex-formula">

ад 2

убывание

$\frac{x^2}{2}-2x < 0 \newline \newline \frac x 2(x -4) < 0$

ad 6

перегиб

$x-2 =0 \newline \newline x=2$

$f(2) = \frac{1}{6} \cdot 2^3-2^2+1= -\frac{5}{3}$

ad 4

выпукла:

0 \newline \newline x >2" alt="x-2 > 0 \newline \newline x >2" align="absmiddle" class="latex-formula">

ад 5

вогнутая

$x-2 < 0 \newline \newline x <2$

тепер рисуем : во вложению граф