Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее большую основу для...

Question

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее большую основу для отрезки 20 см и 25 см. Вычислите периметр трапеции.

Answer 1

Сделаем рисунок к задаче. 
Так как  окружность вписана в трапецию, ее диаметр равен высоте трапеции, которая, в свою очередь, равна АВ ( т.к. углы А и В трапеции по условию равны 90°, и потому АВ равна высоте трапеции - расстоянию между ВС и АD)
Проведем диаметр трапеции через ее центр параллельно АВ.

Обозначим точку касания М ( диаметр перпендикулярен к касательной АД) .

АМ по условию равна 20 см.
Отсюда r=АМ=20 см,

D=Н= 40 см
AB=D=40 см.
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
Трапеция - четырехугольник, и т.к. в нее вписана окружность,
АВ+СD=ВС+АD.

АD=20+25=45 см
Пусть ВС =х
Тогда
СD=АD+ВС - АВ=45+х-40=х+5
Опустим из вершины С перпендикуляр СН на АД.
Получим прямоугольный треугольник СНД, в котором
СН=АВ=40 см
СD=х+5
НD=АD-ВС=45-х
Выразим из этого треугольника СД по т.Пифагора
СD²=СН²+НD²
(х+5)²=40²+(45-х)²
2025-90х+х²+1600=х²+10х+25
3600=100х
х=36
ВС=36 см
АD+ВС=45+36=81
АВ+СD=40+(36+5)=81
Периметр трапеции
Р=81+81=162 см

Answer 2

Дано: ABCD - трапеция, , в ABCD вписана окружность l, точка К принадлежит l (), АК=20 см, KD=25 см.

 

Найти:

 

Решение: Пусть О - центр окружности l. Заметим, что диаметр окружности равен высоте трапеции. Построим перпендикуляр к стороне АВ от центра О окружности. Назовем его ОМ. Заметим, что АКОМ - квадрат. Все углы у него прямые, ОМ=ОК по построению. Значит ОК=АК=20 см. Значит АВ=2ОК=40 см.

 

По свойству четырехугольников, описанных вокруг окружности

 

AD+BC=AB+CD (*)

 

AD=AK+KD=20+25=45 см.

 

Подставим в (*) то, что известно

 

45+ВС=40+CD

 

BC=CD-5. (**)

 

Если из вершины С опустить высоту Т на основание AD, то можно рассмотреть прямоугольный треугольник CTD. CT=AB потому что, АВСТ - прямоугольник. Все углы прямые. Значит СТ=АВ=40 см. По построению TD=AD-AT=45-AT. AT=BC - по свойству прямоугольника. Пусть TD=x см.

 

Треугольник CTD - является прямоугольным по построению, так как 

 

По теореме Пифагора

 

 

Подставим известные данные и обозначения в последнюю формулу

 

 

Подставим CD в формулу (**)

 

 

BC=AD-TD=45-x - подставляем в верхнюю формулу

 

 

 

 

Возведем в квадрат обе части

 

 

2500-100x=1600

 

100x=2500-1600

 

100x=900

x=9 см

Значит TD=9 см, AT=AD-TD=45-9=36 cм. Так как по свойству прямоугольника АВСТ ВС=АТ=36 см.

 

Теперь осталось вычислить СD. По формуле (**)

 

36=СD-5

 

СD=36+5

 

СD=41 см.

 

=86+36+40=122+40=162 см.

 

Ответ: см

 

_________________________________________________________________________

 

Отвечаю на Ваш вопрос по решению примера по алгебре.

 

Упростим выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---