В бесконечно убывающей геометрической прогрессии b1=3 и q=1/3.Найти сумму этой прогрессии

Искомая сумма $S$ равна:
$S = b_1 + b_2 + b_3 + \dots = b_1 + q b_1 + q^2 b_1 + \dots = b_1 \left(1+q + q^2 + \dots \right)$ . Поэтому решение задачи свелось к нахождению суммы $s = 1 + q + q^2 + \dots$ , формулой для которой можно воспользоваться в готовом виде, но полезнее уметь её выводить каждый раз, когда она оказывается нужна. Итак, выводим формулу для $s$ .
Рассмотрим для начала сумму первых членов $s_n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$ . Имеем:
$(1-q)s_n = (1-q)(1 + q + q^2 + \dots + q^n) = 1 + q + q^2 + \dots + q^n - q - q^2 - \dots - q^n - q^{n+1} = 1 - q^{n+1}$ . Таким образом, $s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ , откуда, переходя к пределу при $n \rightarrow \infty$ , получаем $s = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \frac{1}{1 - q}$ . Предел существует при $\left|q\right|<1$ .

Итак, искомая сумма равна:
$S = b_1 (1 + q + q^2 + \dots) = b_1 s = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{2} = 4,5$