Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е.
Я дублирую свое же решение znanija.com/task/2316435
Пусть ВЕ II AC, и точка Е лежит на продолжении АР.
Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны).
Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)
Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;
Итак, ВР = ВС/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР
Sabp = S/3; (S - площадь треугольника АВС, у тр-ка АВС и тр-ка АРВ общая высота, поэтому площади относятся, как стороны)).
Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ (прием тот же - общая высота, и т.д.), то
Sakm = S/4;
Точно так же и Sakb = S/4;
Таким образом, площадь треугольника BPK равна
Sbpk = Sapb - Sakb = S*(1/3 - 1/4) = S/12;
Sbpk/Sakm = (1/12)/(1/4) = 1/3;
Ответ 1/3;