Теория Раскольникова состояла в том, что есть обычные люди, "твари дрожащие", которые равны с остальными и не имеют права их трогать, а есть люди особые - "право имеющие" - это "Ликурги, Солоны, Магометы, Наполеоны" - эти люди во имя осуществления своих великих идей имеют право истреблять людей тысячами, и для них не последует наказание ни от общества, ни от Бога. Такая разница: кто-то убьёт единожды и будет всю жизнь этого бояться и испытывать муки совести, а кто-то (применительно к нашему времени - Гитлер, Сталин) - убивали миллионы и ничего от этого не испытывали.
Раскольников убил старуху как раз чтобы понять, тварь он дрожащая, или право имеющий. Как оказалось - самая обыкновенная тварь.