Задача формата гиа, помогите, пожалуйста. окружности радиусов 2 и 6 с центрами О1 и О2...

Question

Задача формата гиа, помогите, пожалуйста.
окружности радиусов 2 и 6 с центрами О1 и О2 соответственно касаются внешним образом в точке К. некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекается общей касательной, проходящей через точку К, в точке С. найдите площадь треугольника О1СО2.

*точно знаю, что решается через дополнительное построение прямоугольного треугольника. но что дальше..

---

Answer 1

Рассмотрим треугольники АСО1 и КСО1: Из теоремы о касательных к окружности, проведенных из одной точки, находим, что уголы АСО1 и КСО1 равны и СА=СК. По условию О1А=О1К=радиус. Получается, что треугольники АСО1 и КСО1 равны. Аналогично для треугольников КСО2 и ВСО2. 

Углы АСО1+О1СК+КСО2+О2СВ=180; 2*О1СК+2*КСО2=180, тогда О1СК+КСО2=90, тогда О1СО2=90. 

Рассмотрим прямоугольный треугольникО1СО2: высота СК делит его на 2 подобных треугольника О1СК и О2СК. О1К/СК=СК/КО2, отсюда СК=корень из 12.

S(О1СО2)=СК*O1O2|2=8*корень из 3