Одна из биссектрис треугольника равна 10 см и делится точкой пересечения биссектрис в...

Question

Одна из биссектрис треугольника равна 10 см и
делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины.
Найдите длину стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена.

Answer 1

Этот интерфейс меня добьет. Я набираю комментарий, и он НЕ отображается. Ладно, продублирую в решении. 
Это условие - неверное. 
Пусть М - точка пересечения заданной биссектрисы с искомой стороной. Если продлить биссектрису за М на 8, и с центром в полученной точке построить окружность радиуса 12 (эта окружность пройдет через заданную точку пересечения биссектрис), то искомой стороной может быть ЛЮБАЯ хорда построенной окружности, проходящая через точку М.

Можно всё это строго доказать, но для доказательства НЕВЕРНОСТИ САМОЙ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ достаточно увидеть, что это построение верно в 2 случаях
1. треугольник равнобедренный, сторона равна 8√5 (это 2√(12^2 - 8^2))
2. вырожденный треугольник, когда угол, который биссектриса делит пополам, равен 0. Тогда сторона равна 24 - диаметру построенной окружности. 
В общем случае сторона может принимать значения в промежутке между 8√5 и 24.

Comments

Я уже 2 раза разбирал эту задачу год назад. Это ошибочное условие есть в пробниках к ГИА (или как-то так). На самом деле, там десяток вариантов, и везде задана не биссектриса, а сторона, а найти надо периметр. Тогда все легко решается. Но во всем есть свои плюсы - разбирая это "условие", я самостоятельно придумал окружность Аполония, с которой раньше не был знаком совсем.

---

Для тех, кто как раз знаком - все должно быть очевидно, поскольку концы искомой стороны обязаны лежать на окружности Аполония для заданной биссектрисы и заданного отношения.

---

Для тех, кто не знаком с этим замечательным объектом, я поясню. Дело в том, что если задан отрезок, то геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до концов этого отрезка равно заданному - это окружность. Которая и называется окружностью Аполония.

---

Построить эту окружность легко - есть две очевидные точки на прямой, содержащей заданный отрезок - одна точка М1 внутри, и другая М2 вне отрезка, так что М1А/М1В = М2А/М2В = k (заданое отношение). Окружность строится на отрезке М1М2, как на диаметре. Для любой точки К на ней КМ1 - биссектриса АКВ, а КМ2 - биссектриса внешнего угла к АКВ.