В трапеции ABCD (AD и BC-основания) точка K лежит ** стороне CD, причем CK:KD=1:2. AK...

Question

В трапеции ABCD (AD и BC-основания) точка K лежит на стороне CD, причем CK:KD=1:2. AK пересекает BD в точке O. Докажите, что если BC:AD=1:2, то BO=OD

Answer 1

Чертеж во вложении.
пусть М - точка пересечения продолжений прямых АК и ВС.
∆СКМ и ∆ДКА подобны по двум углам. Значит,
\dfrac{CM}{AD}=\dfrac{1}{2} \ \ => CM=BC \ =>\\\\ BM=AD" alt="\dfrac{CM}{AD}=\dfrac{KM}{AK}=\dfrac{CK}{KD}=\dfrac{1}{2} \ \ => \dfrac{CM}{AD}=\dfrac{1}{2} \ \ => CM=BC \ =>\\\\ BM=AD" align="absmiddle" class="latex-formula">
Рассмотрим ∆ВОМ и ∆АОД. У них ВМ=АД (по доказанному выше), ∠В=∠Д, ∠M=∠A.
Значит, ∆ВОМ = ∆АОД по стороне и прилежащим углам. Из этого равенства следует, что ВО=ОД.
Доказано.

---