Решить уравнение x^4+3x^3-13x^2-x+2=0

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Вижу оптимальное решение через МНК (метод неопределенных коэффициентов

$x^4+3x^3-13x^2-x+2=0\\\\ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\\=x^4+ax^3+cx^3+acx^2+dx^2+bx^2+adx+bcx+bd=\\ =x^4+x^3(a+c)+x^2(ac+b+d)+x(ad+bc)+bd\\\\ \left\{\begin{matrix}&&a &+ &c &=&3\\ &ac&+&b &+ &d &= &-13 \\&&ad & +& bc&=& -1\\ &&&&bd&= &2 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} &&a &= &c &-&3 \\ ac&+&b &+ &d &= &-13 \\&&ad& +& bc&=& -1\\ &&&&bd &= &2 \end{matrix}\right.$

Путем подбора множителей по последнему уравнению в системе мы пришли к выводу, что

$\left \{ {{b=-2} \atop {d=-1}} \right.$

$(3c-1)\cdot(-1)+(-2)c=-1\\ c=-2\\\\ a=3+2=5$

Подставляем все найденные значения во второе уравнение системы:

$5\cdot(-2)+(-2)+(-1)=-13\\ -13=-13$

Итак, имеем:

$\left\{\begin{matrix} a&= &5 \\ b&= &-2 \\ c& = & -2\\ d&= &-1 \end{matrix}\right.$

Уравнение четвертой степени разлагается на два квадратных:

$(x^2+5x-2)(x^2-2x-1)=0$

Здесь нетрудно решить и квадратные уравнения:

$x^2+5x-2=0\\ D=25+8=33; \sqrt D=\sqrt{33}\\\\ x_{1/2}= \frac{-5\pm\sqrt{33}}{2}\\\\\\ x^2-2x-1=0\\ D=4+4=8; \sqrt D=\sqrt8=2\sqrt2\\\\ x_{1/2}= \frac{2\pm2\sqrt2}{2}= \frac{2(1\pm\sqrt2)}{2}=1\pm\sqrt2$

Ответ: $x_1=1-\sqrt2; x_2=1+\sqrt2; x_3= \frac{-5-\sqrt{33}}{2};x_4= \frac{\sqrt{33}-5}{2}$

eugeke_zn (29.3k баллов) 08 Май, 18