Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая...

Question

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ

Answer 1

Без теоремы Чевы и следствий. Кому надо с ней - сами и делайте :)
Пусть N лежит на АР так, что MN II BC.
Тогда треугольники ВКР и MNK равны, поскольку у них равны все углы и ВК = КМ.
Поэтому NK = KP, а поскольку NP = AP/2, то КР = АР/4;
Далее, MN = PC/2; но ВР = MN; поэтому ВР = РС/2 = ВС/3;
Теперь применяется (в массовом порядке :) ) известное свойство - если у треугольников высоты к каким-то сторонам равны, то площади относятся, как длины этих сторон.
Если обозначить S площадь АВС, то площадь АРС равна S*2/3; 
Площадь АВМ равна S/2; а площадь АКМ (и - между прочим - площадь АВК) равна половине площади АВМ, то есть S/4;
Окончательно, площадь KPCM равна S*2/3 - S/4 = S*5/12; а искомое отношение равно (S/4)/(S*5/12) = 3/5;

Comments

По теоремам Чевы и Ван-Обеля сразу получается ВР/PC = 1/2 = BQ/QA (Q - точка пересечения СК и АВ), АК/КР = СК/KQ = 3; отсюда (пусть S1 - площадь BQK; S2 - площадь AQK) площадь РКС = S2; пл. МКС = 3*S1; искомое отношение (S2 + S1)/(S2 + 3*S1); причем S2 = 2*S1; .............. ответ.......

---

Между прочим, есть доказательство теоремы Чевы через площади образованных чевианами треугольников (оно работает и в случае выпуклых многоугольников с нечетным числом сторон, есть такое обощение :) называется теорема Понселе). Теорему Чевы хорошо применять потому, что сами величины сторон в неё фактически не входят - входят ДОЛИ ...