в правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 см.Найти расстояние от...

Question

в правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 см.Найти расстояние от середины ребра SB до плоскости SCD

Comments

Что является расстоянием от середины ребра до плоскости? Это прямая от середины ребра до центра плоскости? или как? не могу вспомнить и понять не получается...

Answer 1

Расстояние от середины ребра SB до плоскости SCD в два раза меньше, чем расстояние от точки В до этой плоскости. Прямая АВ параллельна CD, поэтому она параллельна плоскости SCD, поэтому все точки этой прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости SCD. Пусть М - середина АВ, а К - середина CD. Сечение пирамиды плоскостью SKM содержит высоту SH пирамиды (Н - центр основания, совпадает с серединой МК). Поэтому CD перпендикулярно плоскости SKM (CD перпендикулярно двум прямым в этой плоскости - МК и высоте пирамиды SH). Поэтому если в плоскости SMK провести перпендикуляр МР к SK, то это будет перпендикуляр к плоскости SCD (точно так же - МР перпендикулярно SK и CD, которая перпендикулярна всей плоскости SKM).
Таким образом, надо найти высоту МР треугольника SKM к боковой стороне SK.
МК = 1; SM = SK =√3/2 (высоты в правильных треугольниках ASB и CSD);
SH = √((√3/2)^2 - (1/2)^2) = √2/2; 
MK*SH = SK*MP; MP = √(2/3); искомое расстояние равно половине этой величины (см. первое предложение :) ).
Ответ 1/√6;

Comments

Можно еще упростить решение - дело в том, что нужное расстояние равно расстоянию от центра основания до этой плоскости. В координатном представлении задача сама собой решается, так как вершины этой пирамиды лежат в точках (1/√2,0,0) (0,1/√2,0) (-1/√2,0,0) (0,-1/√2,0) (0,0,1/√2) при правильном выборе осей. Плоскость SCD это x + y + x = 1/√2; или (n,r) = 1/√6; где r = (x,y,z) n - единичный вектор нормали к плоскости. В правой части стоит нужное расстояние.

---

Плоскость SCD это x + y + z = 1/√2; опечатка в комментарии

---

Можно вычислить это расстояние как высоту пирамиды SCDH (Н - центр основания) это правильная пирамида объемом V = (1/√2)^3/6; и площадь SCD равна S = √3/4; откуда 3V/S = h ... тот же ответ

Answer 2

Использовано определение расстояния точки до плоскости, теорема о трех перпендикулярах, формула высоты правильного треугольника, формула площади треугольника

Comments

1/√6 = √6/6; вот я и сам в это не верю, но мне однажды тут влепили за такое неверный ответ. :))))))

---

За что?! За то, что вы избавились от ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ в знаменателе))))

---

Ну, автор задачи тогда не смогла понять, что это одно и то же :) там был не корень из 6, и корень из 10, но это не принципиально. :))) еще был тоже случай, когда я дал в ответе arctg, а в задачнике в ответе стоял arccos ... тоже было весело, часа три объяснял, что мой ответ такой же :)))

---

Спасибо вам! За то, что не равнодушны к авторам вопросов; за терпение; за юмор!