Помогите вычислить предел ( подробно пожалуйста, ибо 3 раза подходил к преподу, три раза...

$\lim\limits _{x \to 0} \frac{2x}{tg(2\pi(x+\frac{1}{2}))} =[\, tg(2\pi (x+ \frac{1}{2}))=tg(2\pi x+\pi )=tg(2\pi x)\, ]=\\\\=\lim\limits _{x\to 0} \frac{2x}{tg(2\pi x)} =\lim\limits_{x\to 0} \left (\frac{2\pi x}{sin(2\pi x)} \cdot \frac{cos(2\pi x)}\pi }\right )=\lim\limits _{x\to 0} \frac{2\pi x}{sin(2\pi x)}\cdot \lim\limits _{x\to 0}\frac{cos(2\pi x)}{\pi }=\\\\=1\cdot \lim\limits _{x\to 0}\frac{cos(2\pi x)}{\pi }=\frac{1}{\pi }\\\\P.S.\; \; \; tg( \alpha +\pi )=tg \alpha$

Замечание. Можно сразу $tg(2\pi x)$ заменить на эквивалентную бесконечно малую величину $2\pi x$ , так как $2\pi x\to 0$ при $x\to 0$ .