У трапеции АВСД основание АД в 4 раза больше основания ВС, а площадь трапеции 50. Точка...

Question

У
трапеции АВСД основание АД в 4 раза больше основания ВС, а площадь
трапеции 50. Точка О — точка пересечения диагоналей, точка Р — середина
основания АД, М — точка пересечения АС и ВР, точка N — точка пересечения
ВД и СР. Найти площадь треугольника МNО.

Answer 1

Рисунок смотри во вложении.
Решение:
Так как треугольники ВОС и АОД подобны и ВС = АД/4, то ВО = ОД/4 и ОС = АО/4.
Так как тр-ки ВМС и АМР подобны и ВС = АР/2, то МС = АМ/2.
Аналогично, из подобия тр-ов ВNC и PND получим: BN = ND/2.
Все эти соотношения помогут понять, какую часть диагонали АС составляет отрезок МО и какую часть диагонали ВД составляет отрезок ON.
Итак пройдемся по диагонали АС, используя полученные пропорции:
АМ = 2МС = 2(МО+ОС) = 2МО + 2ОС
АО = 4ОС или АМ + МО = 4ОС
Подставим выражение для АМ из первого соотношения и получим:
2МО + 2ОС + МО = 4ОС, или 3МО = 2ОС, но так как ОС = АС/4, получим окончательно:
ОМ = АС/6
Аналогично для диагонали ВД и отрезка ON:
ON = ВД/6
Площадь MON = (1/2)MO*ON*sina = (1/36)*(1/2)AC*BD*sina = (1/36)Sabcd = 50/36= 25/18
Здесь мы воспользовались формулой площади тр-ка через две стороны и угол между ними, а затем формулой площади любого выпуклого 4-ника через произведение диагоналей и синуса угла между ними.
Ответ: 25/18

Comments

Извини, рисунок что-то не прошел. Сделай сам, как в условии. Никаких дополнительных построений не нужно.

---

Действительно, треугольники МВС и АМР подобны, и ВС/AP = 1/2; => CM = AC/3; при этом подобны и треугольники ВОС и AOD, и CO/OA = BC/AD = 1/4; то есть CO = AC/5; отсюда MO = AC*(1/3 - 1/5) = AC*2/15; как у меня и получилось. Так что ищите ошибку, хотя она вот тут "но так как ОС = АС/4," на самом деле ОС = АО/4,

---

Конечно, моё решение, данное в предыдущем комментарии, гораздо проще, чем опубликованное :)))) но это уж простите :))))

---

еще раз - если a/b = m/n, то a/(a + b) = m/(m + n); в частности, если СM/AM = 1/2, то CM/AC = СМ/(CM + AM) = CM/(CM + 2*CM) = 1/3; точно также, если СO/OA = 1/4, то СО/(CO + OA) = CO/(CO + 4*CO) = 1/5;

---

виноват....исправлюсь с опытом

---

У Вас ник Vajny означает "важный", или он заимствован из "Хроник Моргейн"?

---

На самом деле, "тяжелое" решение с использованием теорем Чевы и Ван Обеля было бы неплохо изучить, и сами теоремы тоже - есть куча задач, которые без них не решить. И очень полезно знать, что прямые из вершин, пересекающиеся в точке на медиане из третьей вершины, отсекают на сторонах пропорциональные отрезки. В этой задаче, конечно же, проще без всего этого.

---

Мне в институте дали прозвище Важный за горделивую походку и должность старосты сыграла свою роль...что тут поделать....я не обижаюсь....

---

ничего страшного :) важность не входит с число смертных грехов :) только гордость...

Answer 2

Пусть F - точка пересечения АВ и DM, G - точка пересечения AN и CD, К - точка пересечения продолжения AD c прямой CК II BD;
Для треугольника ABD AO, BP DF - чевианы, и BO/OD = BC/AD = 1/4;
AF*BO*DP/(FB*OD*AP) = 1; AF/FB = 4; (это можно сразу заметить - ВР - медиана ABD, поэтому FO должно быть параллельно AD... докажите, полезно!)
По теореме Ван-Обеля AM/MO = AF/FB + AP/PD = 4 + 1 = 5; 
MO = AO/6 = (1/6)*(4/5)AC = (2/15)*AC;
Точно также из треугольника ACD получается NO = (2/15)*BD;
По построению, CE II BD, то есть треугольник ACK подобен треугольнику MON, коэффициент подобия равен 2/15.
Поскольку BDKC – параллелограмм,  AK = AD + BC, и площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2, где H – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции.
То есть площадь ACK равна площади трапеции S.
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 8/9;