Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, P-точка пересечения продолжений сторон AB и CD....

Question

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, P-точка пересечения продолжений сторон AB и CD. Докажите, что AP*BP=CP*DP

Answer 1

Пусть ∠BAD=y, ∠CDA=x. Тогда по свойству вписанного четырехугольника имем:
 ∠BAD+∠BCD=180⇒ ∠BCD=180-y,
∠CDA+∠ABC=180⇒ ∠ABC=180-x.
∠ABC и ∠PBC - смежные, значит, ∠PBC=180-∠BCD=180-180+x=x.
∠BCD и ∠BCP - смежные, значит, ∠BCP=180-∠BCD=180-180+y=y.
∠P - общий для треугольников BPC и ABP, а два других угла равны ⇒ треугольники подобны. Из подобия следует, что AP/CP=DP/BP ⇔ AP*BP=CP*DP. ч.т.д.

---