В треугольнике АВС сторона АВ вдвое длиннее ВС, BD - биссектриса. Через точку D...

Question

В треугольнике АВС сторона АВ вдвое длиннее ВС, BD - биссектриса. Через точку D параллельно ВС проведена прямая, пересекающая АВ в точке Е. В каком отношении точка М пересечения BD и CE делит биссектрису BD?

Answer 1

Надо найти BM/MD
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
AD/DC= AB/BC , по условию  AB=2BC
AD/DC=2BC/BC=2

треугольники AED и   ABC  подобны ,  по подобию  получаем 
AE/AB=AD/AC
AE/AB=2/3 

продолжим отрезок AF так чтобы он пересекался в точке М, по теоремы Чевы получаем 
AE/EB*BF/FC*CD/AD=1
2*BF/FC*1/2=1
BF/FC=1

Теперь найдем искомое по теореме  Ван - Обеля 
BM/MD = EB/EA+BF/FC = 1/2 + 1 = 3/2 
Ответ 3/2