Для начало найдем центры окружности , для этого приведем к каноническому ввиду
x^2-6x+y^2+8y+10=0
x^2-6x+9+y^2+8y+16-15=0
(x-3)^2+(y+4)^2=15
то есть центры равны O(3;-4) и радиус равен √15, длина от центра до начало координат равна по теореме пифагора
√3^2+(-4)^2 = 5
теперь пусть искомые точки равны x и у тогда
{(x-3)^2+(y+4)^2=25
{x-y-6=0
решим систему
x=6+y
(6+y-3)^2+(y+4)^2=25
y^2+6y+9+y^2+8y+16=25
2y^2+14y=0
y=0
y=-7
x=-1
x=6
То есть точки
y=0
y=-7
x=-1
x=6