Перечислим эти свойства:
1) Область определения: х - любое действительное число.
2) Область изменения: интервал (0, π).
3) Функция y = arсctg x ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество
arсctg (-x) = π - arсctg x.
4) Функция y = arcсtg x монотонно убывающая на R.
⎛ π⎞
5) График пересекает ось Оу в точке ⎜ 0, ⎟ . К оси Ох при х → + ∞ он приближается асимптоти-
⎝ 2⎠
чески (ось Ох является для него горизонтальной асимптотой при х → + ∞ ).
Прямая у = π также служит асимптотой графика (при х → - ∞).
6) arcсtg x > 0 при любых x. Нулей функции нет.
ОПР. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0, π), котангенс которого ра-
вен а.
⎛ 1 ⎞
Пример 1. Найти α = arсctg ⎜ − ⎟ .
⎝ 3⎠
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде-
1
лах от 0 до π, котангенс которого равен − .
3
1
Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, котангенс которых равен − , на-
3
−π 5π −7π
пример: , , и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интерва-
6 6 6
5π ⎛ 1 ⎞ 5π
ле (0, π). Таким аргументом будет . Итак, arctg ⎜ − ⎟ = .
6 ⎝ 3⎠ 6
Пример 2. Найти α = arcсtg 1.
π
Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим arcctg 1 = .
4
Устные упражнения.
⎛ 3⎞
Найти: arcсtg ⎜ ⎟ , arcсtg (-1), arcсtg 3 .
⎝ 3⎠
Расположите в порядке возрастания:
а) arcсtg 1,2, arcсtg р, arcсtg (-5); б) arcсtg (-7), arcсtg (-2,5), arcсtg 1,4.
Примечание: исследование функции y = arcctg x и построение ее графика может быть задано на
дом.