исследовать на монотонность и точки экстремума. логарифмы. а)f(x)=2x*ln x ; б) f(x) =x² e^(x) .
-----------
а) f(x)=2x*ln x ; * * * ОДЗ f(x) : (0 ;∞) .
f'(x) = (2x*ln x ) =2(x*ln x) ' =2( (x' )*ln x +x*(*ln x)' ) =2(1*lnx +x *(1/x) ) =2(lnx+1).
критическая точка :
f'(x) =0 ⇒ 2(lnx+1) =0⇔lnx= -1 ⇔ x =e ^(-1) ⇔ x =1/e .
Критическая точка x =1/e является точкой минимума .
(знак производной меняет знак от минуса к плюсу )
функция убывает , если f'(x) < 0 ⇔ lnx < -1 ⇔ 0 < x < 1/e
(0) ----------------- (1/e ) ---------------
убывает min возрастает
б) f(x) =x² e^(x) ; * * * ОДЗ f(x) : x ∈(-∞ ;∞ ) .
f'(x) = 2xe^x +x²e^x =x(x+2) e^x . * * * e^x > 0 , x ∈(-∞ ;∞ ). * * *
критическая точки : x = -2 и x = 0.
f'(x) > 0 ⇒ x ∈(-∞ ; -2) ∪ (0 ; ∞)
f'(x) < 0 ⇒ x ∈ (-2 ; 0)
f'(x) + - +
-------------------- (-2) ---------------- (0) --------------
возрастает убывает возрастает
min max
x = -2 точка максимума , x = 0 _ минимума.