доведите неравенство

$a^{4} + b^{4} \geq a^{3} b+b^{3}a \\\ a^{4} + b^{4}- a^{3} b-b^{3}a\geq 0 \\\ a^3(a-b)-b^3(a-b) \geq 0 \\\ (a-b)(a^3-b^3) \geq 0 \\\ (a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2) \geq 0 \\\ (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0 \\\ (a-b)^2 \geq 0 \\\ a^2+ab+b^2=0 \\\ D=b^2-4b^2<0 \\\ a^2+ab+b^2 \geq 0$
Так как оба множителя ((a-b)^2 и a^2+ab+b^2=0) больше либо 0, то и исходное неравенство верно.