Найдите $p^3+q^3$, если известно, что $p+q=6$ и $p+q+p^2q+pq^2=53$. При необходимости...

$p+q+p^2q+pq^2=(p+q)+pq(p+q)=(p+q)(1+pq)=53$

$p+q=6$ , значит $(p+q)(1+pq)=6(1+pq)=53$

$1+pq=\frac{53}{6}\\pq=\frac{53}{6}-1=\frac{53-6}{6}=\frac{47}{6}$

формула суммы кубов: $p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)$

$p+q=6$ , значит $(p+q)(p^2-pq+q^2)=6(p^2-pq+q^2)$

представляем в виде полного квадрата вторую скобку: $p^2-pq+q^2=p^2+2pq+q^2-3pq=(p+q)^2-3pq$

$p+q=6$ , $pq=\frac{47}{6}$ , значит $6(p^2-pq+q^2)=6((p+q)^2-3pq)=6(6^2-3*\frac{47}{6})$ – считаем и решаем

$6(6^2-3*\frac{47}{6})=6(36-\frac{47}{2})=6(36-23,5)=6*12,5=75$

Ответ: 75.