AD-биссектриса треугольника ABC.BD:DC= 5:41) В каком отношении биссектриса AD делит...

Question

AD-биссектриса треугольника ABC.BD:DC= 5:4
1) В каком отношении биссектриса AD делит медиану BM?
2) В каком отношении медиана BM делит биссектрису AD?
Решая эту задачу я руководствовалась теоремой о биссектрисе,делящей противолежащую её углу сторону на отрезки,пропорциональные прилежащим сторонам, но я не знаю правильно ли я решала. Помогите пожалуйста.
Заранее премного благодарна.

Answer 1

1) Тут все даже не просто, а ООООЧЧЧЧЕНЬ просто.
Если P - точка пересечения BM и AD, то BP/PM = AB/AM = AB/(AC/2) = 5/2;
2) Тут немного сложнее, но тоже не слишком. 
Пусть MK II BC; точка K лежит на AD. 
Тогда KD = AD/2; KM/DC = 1/2;
треугольники BPD и KPM подобны, то есть KM/BD = KP/DP;
по условию BD = DC*5/4; то есть KM/BD = KM/(DC*5/4) = 2/5;
то есть KP/DP = 2/5; KP + DP = AD/2; 
если считать, что KP = 2*x; то DP = 5*x; AD/2 = 7*x; AD = 14*x; AP = AD - DP = 14*x - 5*x = 9*x; откуда AP/PD = 9/5; вроде так.

Comments

на самом деле это учебный пример на теорему Чевы. Пусть СN - третья чевиана. Раз одна из чевиан - медиана, то BN/NA = BD/DC = 5/4; и по теореме Ван Обеля AP/PD = AN/NB + AM/MC; то есть AP/PD = 4/5 + 1 = 9/5;

---

Спасибо большое. Но те теоремы,которые Вы написали в комментариях я ещё не проходила так как только перешла из8 в 9 класс. А сам ответ мне ясен.Благодарю)