Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой .
Свойства параллелограмма. 1. Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD, AD = BC ).
2. Противоположные углы параллелограмма равны ( A = C, B = D ). 3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ).
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон:
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² . Признаки параллелограмма. Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: 1. Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD = BC ). 2. Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D ).
3. Две противоположные стороны равны и параллельны ( AB = CD, AB || CD ).
4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ).
Прямоугольник.
Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые ( почему ?). Такой параллелограмм называется прямоугольником ( . Основные свойства прямоугольника.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон ( см. выше теорему Пифагора ):
AC 2 = AD 2 + DC 2 . Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ( AC BD ) и делят их углы пополам ( DCA = BCA, ABD = CBD и т.д. ). Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами . Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно; поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.
Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны .
Здесь AD || BC. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие ( AB и CD ) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями ( BM ) есть высота. Отрезок EF, соединяющий средние точки E и Fбоковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:и параллельна им: EF || AD и EF || BC.Трапеция с равными боковыми сторонами ( AB = CD ) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны ( A = D, B = C ).Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции .Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из предыдущего
пункта, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из её оснований превращается в точку.