7. Найти сумму целочисленных решений неравенства
( 2*4^(x+1)+2*2^(x+1) -8^x -16 ) / (1-cos² πx /3) ≥ 0 ;
---
(8*(2^x)² +2*(2^x) -(2^x)³ -16) / (1-cos² πx /3) ≥ 0 ;
( (2^x)³ -8*(2^x)² - 2*(2^x) +16) / sin² πx /3 ≤ 0 ;
* * *sin² πx /3 ≥ 0 . ОДЗ : sin πx /3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3n , n ∈ Z .
Замена: t =2^x ;
t³ -8t² -2t +16 ≤ 0 ;
t² (t-8) -2(t -8) ≤ 0 ;
(t -8) (t² - 2) ≤ 0
(t - √2)(t -8) (t + √2) ≤ 0 * * * t + √2 = 2^x + √2 >0 * * *
√2 ≤ t ≤ 8 ;
(2)^ (1/2) ≤ 2^x ≤ 2³ ⇔ 1/2 ≤ x ≤ 3 , но x = 3*1 не решение , поэтому
1/2 ≤ x < <span>3 сумма целочисленных решений неравенства будет :
1+2 =3.
ответ : 3.
---------------
8. Найти количество целочисленных решений неравенства
(x² -2x -15) /Log_7 (x+1) ≤ 0 удовлетворяющих условию
3x -5 -|x-1| ≥0 .
---
Начнем 3x -5 -| x-1 | ≥0 ⇔ совокупности двух систем неравенств :
[ { x-1 < 0 ; 3x -5 +x -1 ≥0 ; { x-1 ≥ 0 ; 3x -5 -(x -1) ≥0 . ⇔
[ { x < 1 ; </span>x ≥ 1,5 ; { x ≥ 1 ; x ≥ 2 .⇒ . [ x ∈∅ ; x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2. * * * x+1 ≥ 3 * * *
{ x ≥ 2 ; (x² -2x -15) / Log_7 (x+1) ≤ 0 ; ⇔{ x ≥ 2 ; x² -2x -15 ≤ 0 ;
* * * т.к. Log_7 (x+1) ≥ Log_7 3 > 0 * * *
{ x ≥ 2 ; (x+3) (x-5) ≤ 0⇔ { x ≥ 2 ; -3 ≤ x ≤ 5 ⇔ 2 ≤ x ≤ 5 .
целочисленных решений неравенства x ∈ { 2 ; 3 ; 4 ; 5 } .
ответ : 4.