Докажите, что если a,b,c - стороны треугольника, то a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab+ac+bc)

Question

Докажите, что если a,b,c - стороны треугольника, то
a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab+ac+bc)

Answer 1

По неравенству треугольника:

a > |b-c|
b > |c-a|
c > |a-b|

если это не выполняется, то не выполняется неравенство треугольника

возведем каждое в квадрат и сложим

a² + b² + c² > 2a² + 2b² + 2c² - 2(ab+bc+ac)
0 > a² + b² + c² - 2(ab+bc+ac)
2(ab+bc+ac) > a² + b² + c² - чтд.