По определению:
sinx ≤ 1
Для положительных x:
sinx < x
сложим два неравенства:
2sinx < 1 + x
Значит, при k=1 всегда выполняется неравенство для любых положительных x
Так же оно выполняется для любых k > 1
Рассмотрим остальные k:
1) k∈(-∞; -1), т.е. k = (-1 - l), l > 0, для x∈(0; l)
2sinx < -1 - не выполняется ни при каких х
2) k∈[-1; 0), тогда для x∈(0; |k|)
2sinx < -1 - не выполняется ни при каких х
3) k∈[0;1), для x∈(k; 1)
sinx < k - должно выполняться для любых x, всегда найдется х, что неравенство не выполнится
Ответ: k∈[1;+∞)