1. Диагональ BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность является ее диаметром,...

Question

1. Диагональ BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность является ее диаметром, угол ABC=100 градусам. Найдите величины остальных углов четырехугольника.
2. Диагональ AC четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, является ее диаметром. Угол ABC в два раза больше угла BDC. Найдите величины всех углов четырехугольника.

Answer 1

Решение обеих задач основано на том, что у вписанного 4-угольника суммы противоположных углов равны 180°. Кроме того, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

1. ∠BAD=∠BCD=90° как опирающиеся на диаметр.
∠ADC= 180-100=80°

2.  ∠ABC=∠ADC=90° как опирающиеся на диаметр.
90°=∠ABC=2∠BDC⇒∠BDC=45°⇒∠ADC=90°-45°=45°
Про углы∠BAD и ∠BCD ничего сказать нельзя. Чтобы понять это, проводим диаметр AC, рисуем равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (B оказывается на окружности), после чего произвольным образом выбираем точку D на окружности по другую сторону от диаметра.