Найдите значения x, при котором функция у=(x-a)^2+(x-b)^2 принимает своё наименьшее...

$y=(x-a)^2+(x-b)^2 \\\ y`=((x-a)^2+(x-b)^2)`= \\\ =2(x-a)(x-a)`+2(x-b)(x-b)`=2x-2a+2x-2b \\\ y`=0 \\\ 2x-2a+2x-2b=0 \\\ 2x-a-b=0 \\\ x= \frac{a+b}{2}$
При переходе через точку (a+b)/2 производная меняет свой знак с "-" на "+", следовательно точка (a+b)/2 - точка минимума, и значение функции в этой точке - наименьшее, то есть искомое.
Ответ: при х=(a+b)/2