Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения решаются с применением производной.
Пусть а и b - стороны прямоугольника, d - его диагональ. Тогда Р=2(a+b), 20=2(a+b), a+b=10, b=10-a.
По т.Пифагора d=√(a²+(10-a)²)=√(a²+100-20a+a²)=√(2a²-20a+100).
Получили функцию d(a)=√(2a²-20a+100).
Находим производную данной функции:
d'(a)=(√(2a²-20a+100))'=(4a-20)/2√(2a²-20a+100).
Приравниваем производную к нулю:
(4a-20)/2√(2a²-20a+100)=0;
Так как выражение в знаменателе всегда больше нуля (D<0), то <br>4a-20=0;
4a=20;
a=5.
Так как 0<а<10, рассмотрим d(0), d(5), d(10):<br>d(0)=10;
d(5)=5√2;
d(10)=10.
Таким образом, наименьшее значение диагонали 5√2.
При этом значения a и b равно 5, т.е. данный прямоугольник - квадрат.
Ответ: 5 см; 5 см.