1) sin⁡9x=-1/2; 2) cos⁡ x/7=√3/2; 3) tg(x/4+π/8)=1/√3; 4) 4 sin^2 ⁡x+3 sin ⁡x-1=0

$1)\;\sin9x=-\frac12\\9x=-(-1)^n\cdot\frac\pi6+\pi n\\x=(-1)^{n+1}\cdot\frac\pi{54}+\frac{\pi n}9\\\\2)\;\cos\frac x7=\frac{\sqrt3}2\\\frac x7=\pm\frac\pi6+2\pi n\\x=\pm\frac{7\pi}6+14\pi n\\\\3)\;tg\left(\frac x4+\frac\pi8\right)=\frac1{\sqrt3}\\\frac x4+\frac\pi8=\frac\pi6+\pi n\\\frac x4=\frac\pi{12}+\pi n\\x=\frac\pi3+3\pi n\\\\4)\;4\sin^2x+3\sin x-1=0\\\sin x=t,\;\sin^2x=t^2,\;t\in[-1;\;1]\\4t^2+3t-1=0\\D=9+4\cdot9=25\\t_{1,2}=\frac{-3\pm5}8\\t_1=-1,\;t_2=\frac14$ .
$\begin{cases}\sin x=-1\\\sin x=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac\pi 2+2\pi n\\x=(-1)^n\cdot\arcsin\left(\frac14\right)+\pi n\end{cases}$