Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Будем искать коэффициенты разложения, предположив, что все они целые. Поскольку свободный член у исходного многочлена равен единице, свободные члены множителей будут либо оба 1, либо оба (-1). рассмотрим сначала случай, когда они оба = 1, если разложение получить не удастся, рассмотрим второй случай.
x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1).
Если перемножить многочлены в правой части, должен получиться тот же многочлен, что и слева⇒ в левой и правой части одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях.
Коэффициент при x^3 слева = 1, справа = a+b; получили уравнение
a+b=1
Коэффициент при x^2 слева = -4, справа = 2+ab; получили уравнение
ab=-6
Следовательно, a и b являются корнями квадратного уравнения
t^2-t-6=0 (спасибо господину Виету); t=3 или t= - 2; пусть a=3; b=-2
Проверив, что при выбранных a и b совпадают коэффициенты и при x, убеждаемся в справедливости разложения
x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+3x+1)(x^2-2x+1).
Если такого разложения недостаточно, можем разложить до скобок первой степени:
x^4+x^3-4x^2+x+1=(x+3/2+√5/2)(x+3/2-√5/2)(x-1)^2