(50 баллов) решите данные неравенства ,срочно)

Question

(50 баллов) решите данные неравенства ,срочно)

---

Answer 1

1 - sinx +cosx  < 0
* * * сразу можно применить формулу  дополнительного угла: a*cosx - b*sinx =√(a²+b²) *(a/√(a²+b²)*cosx - b/√(a²+b²)*sinx) =√(a²+b²) *(cosβ*cosx -sinβ*sinx) =√(a²+b²)* cos(x +β) ; β =arctq(b/a) . 
|| =√2*cos(x +π/4), т.к. a =1 , b=1 ⇒√(a²+b²)=2  и  β =arctq(b/a) =arctq(1) =π/4 ||* * *---1 - sinx +cosx  < 0⇔ cosx -sinx < - 1⇔  √2( (1/√2)*cosx -(1/√2)*sinx) <  -1 ⇔
cosx*cosπ/4 -sinx *sinπ/4 < -1/√2 ⇔ cos(x+π/4)  < -1/√2   ⇒ π/2 < x  < π   <br> * * *  π - π/4 <</strong> x +π/4  <<strong> π + π/4 ⇔ π/2 < x  < π  * * *2πn + π/2 <  x  < π + 2πn ,n ∈Z.
ответ :   объединение интервалов  (π/2+ 2πn ; π + 2πn ) , n∈Z .* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
313. 1)
|sinx| < |cosx| ⇔  sin²x  < cos²x ⇔( 1-cos2x) /2 <( 1+cos2x) /2⇔2cos2x >0 ;
cos2x > 0 ;
2πn -π/2 < 2x < π /2 +2πn  ;<br>πn -π/4 < x < π /4 +πn   , n∈Z <br>
ответ :   объединение интервалов  ( -π/4+ πn  ;  π /4 +πn ) ,n∈Z .

Comments

sinx - cosx > 1 не ⇔ (sinx - cosx)² > 1² справедливо указал vicper1957z. Спасибо !

Answer 2

1) 1-sinx+cosx<0;<br>sinx-cosx>1;
Разделим обе части неравенства на √2:
√2/2*sinx-√2/2*cosx>√2/2;
Так как √2/2=sinπ/4 и √2/2=cosπ/4, то:
sinx*cosπ/4-cosx*sinπ/4>√2/2;
Используем формулу сложения (разность аргументов):
sin(x-π/4)>√2/2;
π/4+2πnπ/2+2πnОтвет: π/2+2πn
2) |sinx|<|cosx|;<br>Данное неравенство будет равносильно следующему неравенству:
sin²x-cos²x<0;<br>(sinx-cosx)(sinx+cosx)<0;<br>Неравенство можно решить методом интервалов.
Находим нули:
sinx-cosx=0;
Используем способ, как в предыдущем неравенстве и получаем:
sin(x-π/4)=0;
x-π/4=πn, n∈Z;
x=π/4+πn, n∈Z;
или
sin(x+π/4)=0;
x+π/4=πn, n∈Z;
x=-π/4+πn, n∈Z;
Получаем промежутки:
(-3π/4+πn; -π/4+πn), (-π/4+πn; π/4+πn), (π/4+πn; 3π/4+πn), n∈Z.
На этих промежутках неравенство имеет следующие знаки:
                 +                                -                             +
Таким образом, неравенство принимает отрицательные значения на промежутке (-π/4+πn; π/4+πn), n∈Z.
Ответ: -π/4+πn