В правильной треугольной пирамиде радиус окружности, вписанной в основание, равен корень...

$SABC-$ правильная треугольная пирамида
$w(O;r)$
$r= \sqrt{3}$ см
$SK-$ апофема
$SK=2 \sqrt{7}$ см
$V_n-$ ?

$SABC-$ правильная треугольная пирамида ⇒ Δ $ABC-$ равносторонний
$AB=BC=AC$
$r= \frac{a}{2 \sqrt{3} }$
$r= \frac{AC}{2 \sqrt{3} }$
${AC}={2 \sqrt{3} }*r$
${AC}={2 \sqrt{3} }* \sqrt{3} =2*3=6$ (см)
$S_{ABC}= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}$
$S_{ABC}= \frac{AC^2 \sqrt{3} }{4}$
$S_{ABC}= \frac{6^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{36 \sqrt{3} }{4}=9 \sqrt{3}$ (см²)
$SO$ ⊥ $(ABC)$
Δ $SOK-$ прямоугольный
По теореме Пифагора найдем SO:
$SK^2=SO^2+OK^2$
$SO^2=SK^2-OK^2$
$SO^2=(2 \sqrt{7}) ^2-( \sqrt{3} )^2$
$SO^2=25$
$SO=5$ (см)
$V_{n}= \frac{1}{3} *S_{ABC}*SO$
$V_{n}= \frac{1}{3} *9 \sqrt{3} *5=15 \sqrt{3}$ (см³)

Ответ: 15√3 см³