Формулы сокращенного умножения
a2 – b2 = (a - b)(a + b)
a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Примеры применения формул сокращенного умножения для разложения на множители:
1) a4 – 16 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4).
2) c6 – 1 = (с3 – 1) (с3 + 1) = (с – 1)(с2 + с + 1)(с + 1)( с2 – с + 1).
3) a8 – 1 = (a4 – 1)(a4 + 1) = (a2 – 1)(a2+ 1) (a4 + 1) = (a – 1)(a + 1)(a2 + 1) (a4 + 1).
Пример комбинации вынесения общего множителя и группировки слагаемых:
Пример 1. Разложение многочлена на множители 10ay – bx + 2ax – 5by.
10ay – bx + 2ax – 5by = (10ay – 5by) + (2ax – bx) = 5y(2a – b) + x(2a – b) = (2a – b)(5y + x).
Пример 2. Разложение многочлена на множители 16ab2 - 10c3 + 32ac2 - 5b2c
16ab2 - 10c3 + 32ac2 - 5b2c = (16ab2 + 32ac2) – (5b2c + 10c3) = 16a(b2 + 2c2) – 5c(b2 + 2c2) = (b2 +2c2)(16a – 5c).
Примеры комбинаций вынесения общего множителя, группировки слагаемых и формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители.
1) y3 + 16 – 4y – 4y2 = (y3 – 4y) + (16 - 4y2) = (y3 – 4y) – (4y2 – 16) = y(y2 – 4) – 4(y2 – 4) =
= (y2 – 4)(y - 4) = (y – 2)(y + 2)(y - 4).
2) (a – b)3 – a + b = (a – b)3 – (a – b) = (a – b)(( a – b)2 – 1) = (a – b)(a2 – 2ab + b2 - 1).
3) x2 – 6xy – 49 + 9y2 = (x2 – 6xy + 9y2) – 49 = (x – 3y)2 – 49 = (x – 3y – 7) (x – 3y +7).
4) c2 + 2c – d2 – 2d = (c2 – d2) + (2c – 2d) = (c – d)(c + d) + 2(c – d) = (c – d)( c + d + 2).
Примеры нестандартных разложений многочленов на множители.
Одно или несколько слагаемых представляется в виде суммы или разности, после чего можно применять группировку или формулы сокращенного умножения.
Пример 1. Разложение многочлена на множители y2 – 14y + 40.
y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y2 – 14y + 49) – 9 = (y – 7)2 – 32 = (y – 7 – 3)(y – 7 + 3) = (y – 10)(y – 4).
Пример 2. Разложение многочлена на множители x2 + 7x + 12.
x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4).
Пример 3. Разложение многочлена на множители x2 + 8x +7.
x2 + 8x +7 = x2 + 7x + x + 7 = (x2 + 7x) + (x + 7) = x(x + 7) + (x + 7) = (x + 7)(x + 1).
Пример 4. Разложение многочлена x2 + x – 12 на множители.
x2 + x – 12 = x2 + 4x – 3x – 12 = (x2 + 4x) – (3x +12) = x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(x – 3).
Пример 5. Разложение многочлена на множители x2 - 10x + 24.
x2 - 10x + 24 = x2 -2*5 x + 25 – 1 = (x2 - 2*5 x + 25) – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 5 – 1)(x – 5 + 1) = (x – 6)(x – 4).
Пример 6. Разложение многочлена на множители x2 - 13x + 40.
x2 - 13x + 40 = x2 - 10x – 3x + 25 + 15 = (x2 - 10x + 25) – (3x – 15) = (x – 5)2 – 3(x – 5) =
= (x – 5)(x – 5 – 3) = (x – 5)(x – 8).
Пример 7. Разложим на множители многочлен x2 + 15x + 54.
x2 + 15x + 54 = x2 + (12x + 3x) + (36 + 18) = (x2 + 12x + 36) + (3x + 18) = (x + 6)2 + 3(x + 6) =
= (x + 6)(x + 6 + 3) = (x + 6 )(x + 9).
Пример 8. Разложение многочлена x4 + 3x2 + 4 на множители.
x4 + 3x2 + 4 = x4 + (4x2 – x2) + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – x2 = (x2 + 2)2 – x2 = (x2 + 2 – x)( x2 + 2 + x) =
= (x2 – x + 2)( x2 + x + 2).
Пример 9. Разложение многочлена на множители x4 + x2 + 1.
x4 + x2 + 1 = x4 + (2x2 – x2) + 1 = (x4 + 2x2+ 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 + 1 – x)( x2+ 1 + x) =
= (x2 – x + 1)( x2 + x + 1).