Решите пожалуйста пределы

Question 1

Question 2

A) $\lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{2} +3x}{7 x^{2} +2x-8}= \lim_{x \to \infty} \frac{14+ \frac{3}{x} }{7+ \frac{2}{x}- \frac{8}{ x^{2} } } = \frac{14+0}{7+0-0}=2$
b) $\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{3+x} - \sqrt{1+3x} }{3 x^{2} -7x+4}= \lim_{x \to 1} \frac{( \sqrt{3+x} - \sqrt{1+3x})(\sqrt{3+x} + \sqrt{1+3x}) }{(3 x^{2} -7x+4)(\sqrt{3+x} + \sqrt{1+3x})}=$
$= \lim_{x \to 1} \frac{( 3+x)-(1+3x) }{(x-1)(3x-4)(\sqrt{3+x} + \sqrt{1+3x})}= \lim_{x \to 1} \frac{3+x-1-3x}{(x-1)(3x-4)(\sqrt{3+x} + \sqrt{1+3x})}=$
$\lim_{x \to 1} \frac{2-2x}{(x-1)(3x-4)(\sqrt{3+x} + \sqrt{1+3x})}=\lim_{x \to 1} \frac{-2(x-1)}{(x-1)(3x-4)(\sqrt{3+x} + \sqrt{1+3x})}=$
$\lim_{x \to 1} \frac{-2}{(3x-4)(\sqrt{3+x} + \sqrt{1+3x})}= \frac{-2}{(3-4)( \sqrt{3+1}+ \sqrt{1+3} )}= \frac{-2}{(-1)( \sqrt{4}+ \sqrt{4})}= \frac{1}{2}$
c) $\lim_{x \to 0} \frac{cos3x-cos5x}{x}$ . Вычислим предел с помощью правила Лопиталя: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
Имеем: $\lim_{x \to 0} \frac{cos3x-cos5x}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{(cos3x-cos5x)'}{(x)'}=\lim_{x \to 0} \frac{(cos3x)'-(cos5x)'}{1}=$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(3x)'(-sin3x)-(5x)'(-sin5x)}{1}= \lim_{x \to 0} (5sin5x-3sin3x)=$
$=5sin5*0-3sin3*0=5sin0-3sin0=0$ .
d) $\lim_{x \to \infty}(3-4x)(ln(1-4x)-ln(2-4x)) = \lim_{x \to \infty} \frac{ln(1-4x)-ln(2-4x)}{ (3-4x)^{-1}}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{(ln(1-4x)-ln(2-4x))'}{((3-4x)^{-1})'}= \lim_{x \to \infty} \frac{(ln(1-4x))'-(ln(2-4x))'}{(3-4x)'(-1) (3-4x)^{-1-1}}=$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{(1-4x)'}{1-4x} - \frac{(2-4x)'}{2-4x}}{(-4)(-1) (3-4x)^{-2}}= \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{(-4)}{1-4x} - \frac{(-4)}{2-4x}}{4* (3-4x)^{-2}}=$
$= \lim_{x \to \infty} (-1)(3-4x)^{2}* \frac{4(\frac{1}{1-4x}- \frac{1}{2-4x})}{4} =$
$= \lim_{x \to \infty} (-1)(9-24x+16 x^{2} )*(\frac{1}{1-4x}- \frac{1}{2-4x})} =$
$= \lim_{x \to \infty} (-1)(9-24x+16 x^{2} )*(\frac{2-4x}{(2-4x)(1-4x)}- \frac{1-4x}{(1-4x)(2-4x)})} =$
$= \lim_{x \to \infty} (-1)(9-24x+16 x^{2} )*\frac{2-4x-1+4x}{2-4x-8x+16 x^{2} } =$
$= \lim_{x \to \infty} (-1)(9-24x+16 x^{2} )*\frac{1}{2-12x+16 x^{2}} =$
$=- \lim_{x \to \infty} \frac{9-24x+16 x^{2} }{2-12x+16 x^{2}} =- \lim_{x \to \infty} \frac{ x^{2} ( \frac{9}{ x^{2} } - \frac{24}{x} +16)}{ x^{2} ( \frac{2}{ x^{2} } - \frac{12}{x} +16)} =$
$=- \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{9}{ x^{2} } - \frac{24}{x} +16}{ \frac{2}{ x^{2} } - \frac{12}{x} +16} =- \frac{0-0+16}{0-0+16}=-1$ .