5cos x+4=0; cos x= - 4/5; x = arccos(-4/5)+2πn = π - arccos (4/5)+2πn
или x= - arccos (-4/5)+2πk= - π + arccos(4/5)+2πk
Чтобы узнать, какие x не обращают знаменатель в ноль, переведем arccos (4/5) в arctg.
Проще всего сделать это таким образом. Нарисуем прямоугольный треугольник с катетом 4 и гипотенузой 5; второй катет (равный 3)
ищем с помощью теоремы Пифагора или вспоминаем египетский треугольник 3-4-5. В этом треугольнике arccos(4/5) это угол, косинус которого равен 4/5, то есть катет, равный 4, прилегает к этому углу.
Тангенс этого же угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть 3/4. Следовательно, arccos(4/5)=arctg(3/4).
Поэтому решения можно записать в виде
π-arctg(3/4)+2πn и -π+arctg(3/4)+2πk.
Знаменатель в решениях первого типа, пользуясь тем, что у тангенса период равен π, равен 4tg(-arctg(3/4))-3=-4tg(arctg(3/4)-3=
-4(3/4)-3=-6≠0⇒решения первого типа записываем в ответ.
Для решений второго типа получаем
4tg(arctg(3/4)-3=4(3/4)-3=3-3=0, поэтому вторую серию мы отвергаем.
Ответ: π - arccos (4/5)+2πn
Замечание. Писать пришлось много, но барахтались мы на мелководье, при некотором навыке отбор можно было произвести за секунду