Примем ребро куба за х.
Проведём осевое сечение конуса через диагональ основания куба.
В сечении имеем равнобедренный треугольник с основанием радиусом 6√2, высотой 12. В этот треугольник вписан прямоугольник высотой х и длиной х√2.
Тангенс половины угла при вершине равен 6√2/12 = √2/2.
Он же равен (х√2/2)/(12-х).
Получаем уравнение: (х√2/2)/(12-х) = √2/2.
После сокращения х/(12-х)=1 или х = 12-х, откуда 2х = 12, х = 12/2 = 6.
Объём куба V = 6³ = 216 куб.ед.