Три круга (площадь каждого из них равна S) касаются друг друга. Найдите площадь круга,...

Question

Три круга (площадь каждого из них равна S) касаются друг друга. Найдите площадь круга, который внутренним образом касается трёх данных кругов.

Comments

Условие можно понимать двояко. Должны быть верными решения как для круга, описанного вокруг трех данных, так и вписанного в пространство между ними.

---

Судя по ответу, данному в тесте, круг лежит внутри трёх данных кругов.

---

В учебниках, бывает, встречаются задачи не только неоднозначные, но и абсурдные. Касаться внутренним образом - когда одна или несколько из касающихся окружностей лежит внутри другой. Думаю, точное условие было бы таким: "Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках)." Тогда четвертая окружность однозначно располагается в промежутке между тремя равными. Поэтому здесь оба решения верны.

---

Доя второго варианта такой текст тоже однозначен: "Найдите площадь круга, который ВНЕШНИМ образом касается трёх данных кругов". Даже для кругов, не касающихся друг друга.

Answer 1

Рассмотрим равностор треуг образованный центрами этих кругов. его сторона равна двум радиусам кругов(2r). его медианы пересекаются и делятся как 1/2
найдём мед , пусть её длина x
по т пиф x^2=(2r)^2- r^2
x^2=4r^2-r^2
x^2=3r^2
x=r корней из 3
найдём радиус маленького круга
r=2/3x+r=2/3rкорней из 3 +r= 2r/3корней из 3 +r
найдём площ этого круга
s=пи(2r/3корней из 3 +r)^2=пи r^2(2+3корней из 3)/3корней из 3)^2
найдём r через s
тк s=пи r^2,
то r^2=(s/пи)
s=s(7-4корней из 3)/3
Ответ: s(7-4 корней из 3)/3

Comments

а точно

---

пожалуйста)

---

Не флудите в комментариях, пожалуйста.

---

ок

---

хватит болтами а

Answer 2

Три РАВНЫХ по площади круга могут касаться друг друга только внешним образом. Окружность, которая ВНУТРЕННИМ образом касается трех указанных - это окружность, являющаяся ВНЕШНЕЙ для трех остальных.
Рассмотрим треугольник АВС. Это равносторонний треугольник со стороной, равной 2r.  Высота этого треугольника h равна r√3.
Тогда отрезок ОА=(2/3)*r√3, а радиус искомой окружности равен ОА+r или
R=(2/3)*r(√3+1)= r(2√3+3)/3.
Так как r=√(S/π), то R=r((2/3)*(√3+1)) или R=√(S/π)*((2√3+3)/3).
R²=(S/π)*((2√3+3)/3)² или R²=(S/π)*(12+12√3+9)/9=(S/π)*((7+4√3)/3).
Площадь искомого круга будет Sи=πR².
Тогда Sи=S*(7+4√3)/3.

---