Под номером 4 !!! Подробное решение с рисунком графика обязательно!! Ответ должен...

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Разберемся сначала с графиком по точкам.
$(-1;1);(1;4)\\y=kx+b\\\begin{cases}1=-k+b\\-\\4=k+b\end{cases}\\-3=-2k\\k=1,5\\1=-1,5+b\\b=2,5\\y=1,5x+2,5$
Имеем:
$y=(x+2)^2\ ;y=(x-3)^2\ ;y=0\ ;y=1,5x+2,5$
Строим графики(см.приложение)
Теперь самое веселое... вычисляем интегралы... обращаем внимание на вторую часть... там есть пара моментов
$\int\limits^3_1 {(x-3)^2} \, dx=\frac{(x-3)^3}{3}|^3_1=-(-\frac{8}{3})=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$
Это была правая часть (м/у (х-3)^2 и 0).
Теперь левая... для ее вычисления надо найти точку пересечения графиков y=1,5x+2,5 и y=0.
$\begin{cases}y=1,5x+2,5\\y=0\end{cases}\\1,5x+2,5=0\\1,5x=-2,5\\x=-\frac{5}{3}$
И... еще раз найти пересечения м/у y=(x+2)^2 и y=0. Как ни странно но эти дебри нужны... если вы не сможете четко(!) нарисовать графики.
$\begin{cases}y=(x+2)^2\\y=1,5x+2,5\end{cases}\\(x+2)^2=1,5x+2,5\\x^2+4x+4-1,5x-2,5=0\\x^2+2,5x+1,5=0|*10\\10x^2+25x+15=0\\x_{1,2}=\frac{-25^+_-\sqrt{625-600}}{20}=\frac{-25^+_-5}{20}\\x_1=-1,5\ x_2=-1$
И теперь вторая часть... обращаем внимание что при вычислении левой части надо будет выкинуть маленький кусок между (x-2)^2 и 1,5x+2,5
Площадь с кусочком
$\int\limits^1_{-\frac{5}{3}} {(1,5x+2,5)} \, dx=(\frac{1,5x^2}{2}+2,5x)|^1_{-\frac{5}{3}}=(0,75+2,5-\frac{25}{12}+\frac{25}{6})=5\frac{1}{3}$
Плошадь куска
$\int\limits^{-1}_{-1,5} {1,5x+2,5-(x+2)^2} \, dx=\int\limits^{-1}_{-1,5} {1,5x+2,5} \, dx-\int\limits^{-1}_{-1,5} {(x+2)^2} \, dx=\\=(\frac{1,5x^2}{2}+2,5x)|^{-1}_{-1,5}-(\frac{(x+2)^3}{3})|^{-1}_{-1,5}=\\=0,75-2,5-1,6875+3,75-(\frac{1}{3}-\frac{1}{24})=\\=0,3125-\frac{7}{24}=\frac{5}{16}-\frac{7}{24}=\frac{15-14}{48}=\frac{1}{48}$
Теперь площадь нужной нам части
$5\frac{1}{3}-\frac{1}{48}=5\frac{5}{16}=$
А теперь площадь фигуры, наконец-то
$5\frac{5}{16}+2\frac{2}{3}=7+\frac{15+32}{48}=7\frac{47}{48}$

Alexаndr_zn (72.9k баллов) 10 Май, 18